История возникновения цифр и чисел проект. Цифровые знаки Индии не совпадают по очертаниям с современными цифрами, но все же имеют с ними в некоторых случаях большое сходство

Белоусова Арина

Выступление на Школьной научно-практической конференции об истории возникновения арабских цифр.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное автономное образовательное учреждение лицей №42

Октябрьского района городского округа город Уфа

Республики Башкортостан

Номинация: математика

Секция: математика

Тема работы:

История возникновения цифр

Работу выполнила:

Белоусова Арина Михайловна

Класс 2 Д

Руководитель

Нуруллина Татьяна Петровна Классный руководитель

Уфа 2013

Введение.

2. Как считали древние люди

3. Цифры у разных народов

4. Цифры нашего времени

5. Заключение

6. Приложения

7. Литература

Введение

С самого раннего возраста человек сталкивается с необходимостью считать. Однако, научившись считать, люди мало знают о том, откуда появились числа, кто придумал использовать ту или иную форму записи числа. Проведенный мною опрос показал, что некоторые обучающиеся нашего класса, а также наши родители не смогли дать ответ на вопрос: « Как и где возникли первые числа?». Встречаясь с цифрами на каждом шагу, мы настолько привыкли к их существованию, что вряд ли задумываемся, а откуда же они взялись. А, между прочим, история их возникновения чрезвычайно увлекательна. Поэтому я решила изучить историю возникновения чисел и представить полученный материал другим обучающимся, который можно так же использовать на уроках математики.

Цель: Узнать историю возникновения цифр

Задачи:

1.Изучить имеющуюся литературу по теме.

2.Определить, как появились цифры

3.Выяснить, как считали древние люди, которые не знали цифр.

4.Собрать информацию о цифрах других народов

В современных условиях очень важно каждому человеку правильно понимать законы чисел. Числа – являются необходимой частью математики. Отсюда-актуальность темы.

1. Из истории возникновения чисел

Учится считать, люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь. Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним не справишься. Командовал облавой обычно самый старый и опытный охотник. Что бы добыча не ушла, ее надо было окружить, ну вот хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счета никак не обойдешься! И вождь первобытного племени справлялся с этой задачей. Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как «пять» или «семь». Он мог показать числа на пальцах рук.

2. Как считали древние люди

Сначала были…пальцы. Весьма универсальное, удобное и сподручное средство для счёта. Его используют и до сих пор, правда, лишь в том случае, если нужно показать небольшое, ограниченное одним десятком число (здесь учитываем лишь возможности рук, пальцы ног не в счёт).

Пальцы сыграли немаловажную роль в истории счета. Особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая поменять, сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого вальца его руки нужно положить шкуру. Одна пятерня означала 5, две – 10. Не удивительно, что очень быстро назрела потребность в других, более совершенных символах счёта. Когда рук не хватало, вход шли и ноги. Две руки и одна нога – 15, две руки и две ноги – 20.

3. Цифры у разных народов

На протяжении истории каждый народ писал числа, считал и вычислял с их помощью. У разных народов было свое, определенное написание чисел (см. приложение 1).

Первое подобие цифр возникло около пяти тысяч лет назад в Египте и Месопотамии и представляло собой засечки на дереве или камнях. Египетские жрецы использовали для письма папирус, а в Месопотамии для этих целей служила мягкая глина. Единица изображалась колом, десяток - как бы парой рук, сотня - свернутым пальмовым листом, тысяча - цветком лотоса, символом обилия, сто тысяч - лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила (см. приложение 2).

Не всем для записи чисел понадобилось столько символов. Например, майя в первом тысячелетии нашей эры писали любое число, используя лишь три знака: точку, линию и эллипс (см. приложение 3). Точка означала единицу, линия имела значение пяти, а эллипс, находясь под любым из этих знаков, увеличивал его значение в двадцать раз. Подобная минимизация отнюдь не приводила к упрощению записи: для обозначения того или иного числа приходилось использовать длинные ряды символов.

Следующий этап в истории цифр принадлежит древним римлянам. Изобретенная ими система исчисления основана на использовании букв для отображения чисел (римские цифры). Но это было очень не удобно - записи длинные, умножение и деление в письменном виде производить было невозможно. Все действия надо производить в уме. Даже чтобы прочитать число, нужно устно складывать или вычитать потому, что каждая римския цифра означает всюду, где бы она ни стояла, одно и то же число (см. приложение 4).

4. Цифры нашего времени

Современные привычные для нас цифры имеют арабское происхождение. Хотя арабы в свою очередь заимствовали их у индусов, видоизменив их и приспособив к своему письму. Характер написания каждой из девяти арабских цифр хорошо прослеживается, если записать их в «угловатой» форме (см. приложение 5). Количество углов каждой цифры соответствует количеству, которое эта цифра обозначает. Привычные, нам формы цифр, более округлые. Это влияние скорописи: так цифры записывать быстрее и удобнее (см. приложение 6).

Десятичная система, которой широко пользуется в настоящее время во всем мире, более совершенна. Вместо палочек, взятых от одной до девяти, используют цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения десятков, сотен и т.д. не нужны новые значки, так как те же цифры используют и для записи десятков, сотен и т.д. Одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от места (позиции), где она записана. Благодаря этому свойству современную систему счисления называют позиционной. Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа.

Народы пришли к этой системе постепенно. Она зародилась в Индии в V веке. В IХ веке ею уже владели арабы, в Х она дошла до Испании, а в ХII веке появилась в других странах Европы, но широкое распространение получила в ХVI веке. Долгое время развитие позиционной системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль. Только после введения нуля система стала совершенной.

Сейчас мы постоянно пользуемся числами. Используем их, чтобы измерять время, покупать и продавать, звонить по телефону, смотреть телевизор, водить автомобиль. К тому же у каждого человека есть различные числа, идентифицирующие лично его. Например, в удостоверении личности, в банковском счете, в кредитной карточке и т.д. Более того, в компьютерном мире вся информация, и этот текст в том числе, передается посредством числовых кодов.

Мы встречаемся с числами на каждом шагу и настолько к ним привыкли, что почти не отдаем себе отчета, насколько важную роль они играют в нашей жизни. Числа составляют часть человеческого мышления.

5. Заключение

В ходе выполнения данной работы, мною были прочитаны, рассмотрены книги и сайты об истории чисел и цифр. Я узнала как люди научились считать, как появились цифры которые мы используем в нашей жизни.

Изученный материал я обобщила и предоставила своим одноклассникам.

6. Приложения

У первобытных народов существовало развитой системы счисления. Еще в ХIХ веке у многих племен Австралии и Полинезии было только два обозначения - для числа "один" и для числа "два". Эти обозначения комбинировали. Число "три" они называли "два один", число "четыре"- "два и два", число "пять"- "два, два и один", число "шесть"-"два, два и два". а числа, большие шести, они не различали и называли словом "много".

Первое подобие цифр возникло около пяти тысяч лет назад в Египте и Месопотамии и представляло собой засечки на дереве или камнях. Египетские жрецы использовали для письма папирус, а в Месопотамии для этих целей служила мягкая глина. Цифры тех времён обозначались чёрточками для единиц и различными другими метками для десятков и более высоких порядков.

Интересно то, что записи носили не только счётный характер, но и математический: древние египтяне, как известно, достигли потрясающих высот в арифметике и геометрии. Когда появились иероглифы, цифры стали записывать через них.

Следующий этап в истории цифр принадлежит древним римлянам. Изобретенная ими система исчисления основана на использовании букв для отображения чисел. Так, они применяли в своей системе буквы "I", "V", "L", "C", "D", и "M". цифра число римская двоичная

Не всем для записи чисел понадобилось столько символов. Например, майя в первом тысячелетии нашей эры писали любое число, используя лишь три знака: точку, линию и эллипс. Точка означала единицу, линия имела значение пяти, а эллипс, находясь под любым из этих знаков, увеличивал его значение в двадцать раз. Подобная минимизация отнюдь не приводила к упрощению записи: для обозначения того или иного числа приходилось использовать длинные ряды символов.

Современные привычные для нас цифры имеют арабское происхождение. Хотя арабы в свою очередь заимствовали их у индусов, видоизменив их и приспособив к своему письму. Характер написания каждой из девяти арабских цифр хорошо прослеживается, если записать их в "угловатой" форме. Количество углов каждой цифры соответствует количеству, которое эта цифра обозначает. Привычные нам формы цифр более округлые. Это влияние скорописи: так цифры записывать быстрее и удобнее.

В России десятичная система счисления начала распространяться в ХVII веке. В 1703 году был издан первый печатный учебник математики - "Арифметика" Л.Ф. Магницкого, в котором все вычисления велись в десятичной системе записи чисел.

До этого числа записывали буквами славянского алфавита. Числа от 1 до 9 записывали так:

Над одной или несколькими буквами ставили особый знак (титло), чтобы подчеркнуть, что полученная запись не буква, не слово, а число:

Интересно, что числа от 11 (один-на-десять) до 19 (девять-на-десять) записывали так же, как говорили. То есть "цифру" единиц ставили до "цифры" десятков.

В некоторых странах использовались системы счисления с другими основаниями -5, 12, 20, 60. Например, древняя вавилонская система счисления была шестидесятеричная. Следы этой системы сохранились сейчас в единицах измерения времени:

1 ч=60 мин, 1 мин=60 с.

Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система. В ней числа записывают с помощью следующих цифр:

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: ХV=15, ХVI=16. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IV=4, IХ=40, ХС=90, СD=400, CM=900. В других случаях правило вычитания не применяется. Числа от 1 до 21 обозначают так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX, XXI.

Используя римскую систему счисления, запишем год выхода "Арифметики" Л.Ф. Магницкого-MDCCIII. Это 1000+500+200+3=1703 год.

Римскую систему нумерации используют и сейчас для обозначения веков, глав в книгах и т.п.

В электронно-вычислительных машинах используется двоичная система счисления, в которой всего две цифры 0 и 1. Для примера запишем в двух системах числа от 0 до 9.

Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел двоичной системы счисления очень просты.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Возникновение числа

1.1 Зарождение счета в глубокой древности
1.2 Пальцевой счёт
1.3 Появление систем счисления
1.4 Письменная нумерация у древних народов

2. От натуральных чисел к комплексным

2.1 Натуральные числа
2.2 Дробные числа
2.3 Рациональные числа

1. Возникновение числа

1.1 Зарождение счета в глубокой древности

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века - палеолита. В течении сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом - собиранием её, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали своё существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки.

Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит.

Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия «много». Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисление Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество. .

Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами «один» и «много». Появление элемента «два» объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой. При выражении понятия «три» встретилось затруднение: у человека нет третьей руки; это затруднение было преодолено, когда человек догадался помещать третий предмет у своих ног. Таким образом, «три» характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие «четыре», так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой - возможность поместить по одному предмету у каждой ноги. На первой ступени развития счета человек еще отнюдь не пользовался наименованием чисел, а выражал их или у ног, или соответствующими телодвижениями или жестами.

Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда человечество ознакомилось с некоторыми формами производства - охотой и рыболовством. Человеку пришлось изготавливать простейшие орудия для овладения этими производствами. Кроме того, продвижение человека в холодные страны заставило его делать одежду и создавать орудия для обработки кожи.

Мало-помалу сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Все эти обстоятельства вынудили человека так или иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее.

На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.

1.2 Пальцевой счёт

Развитие счёта пошло значительно быстрее, когда человек догадался обратиться к самому близкому ему, самому естественному счётному аппарату - к своим пальцам. Быть может, первым актом счёта по пальцам было оказание предмета, указательным пальцем; тут палец сыграл роль единицы. Участие пальцев в счёте помогло человеку переступить за число четыре, так как когда все пальцы на одной руке стали считаться равноценными единицами, это сразу позволило довести счёт до пяти. Дальнейшее развитие счёта потребовало усложнения счётного аппарата, и человек нашёл выход, привлекая к счёту сначала пальцы второй руки, а затем распространяя свой приём на пальцы ног: для племён, не носивших обуви, использование пальцев ног было вполне естественным. При этом такое расширение счётных этапов, очевидно, произошло в следствии возможности привести в однозначное соответствие пальцы рук и ног, что и отмечается у некоторых народов.

Так, для выражения числа «двадцать» индейцы из Южной Америки противопоставляют пальцы на руках пальцам на ногах.

В описываемую эпоху хозяйственные расчёты людей ограничивались тем, что после распределения пищи и одежды, захваченных в результате стычки с врагом, уже не было потребности помнить числа, возникшие во время расчётов, а потому счёт и не нуждался в наименованиях для чисел, а производился главным образом путём соответствующих жестов.

Например, туземные жители Андоманских островов, расположенных в Бенгальском заливе Индийского океана, не имели слов для выражения чисел и при счете объяснялись теми или иными жестами. Отсюда видно, что жестикуляция при счете как пережиток еще надолго сохранилось у многих народов, которые не вырабатывали словесную нумерацию.

Словесный счет начал развиваться, лишь когда ведущей формой производства стало сельское хозяйство. В ту пору постепенно возникла частная собственность, объектами которой служили поля, огороды, стада. Обладатели полей, домашних животных, будучи крепко связанными с ними, вынуждены были не только считать принадлежащие им объекты, но и запоминать их число, а это и толкнуло человека путь создания именованных чисел. Сначала запоминание проводилось весьма громоздким и неуклюжим способом: путем восстановления в памяти внешних признаков запоминаемых предметов. Например, обладатель стада волов запоминал количество принадлежащих ему животных по тем признакам, что один вол серый, другой - черный и т.д. Разумеется такой способ запоминания не мог быть пригоден, когда число запоминаемых объектов было большим.

Следующей ступенью в развития наименования чисел надо признать появление описательных выражений совокупность нескольких единиц. Например, вместо наименования числа, выражающего два предмета, употреблялась фраза «столько, сколько у меня рук», наименование четыре передавалось фразой: «столько, сколько ног у животного». Итак, словесными выражениями нескольких предметов явилось преимущественно части тела человека и животного.

В дальнейшем эти описания выражения у многих народов заменились наименованием соответствующих слов, и таким образом эти наименования закрепились за числами. Так, число два стало выражаться словами, обозначающими «уши», «руки», «крылья», четыре - «нога страуса» (четырехпалая) и пр.

Пальцевой счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения чисел. Так, например, выражение, которое должно соответствовать числу 11 - «десять пальцев на обеих руках и один палец на одной ноге» - упрощалось в «палец на ноге»; для выражения числа 23 вместо слов «десять пальцев на обеих руках, десять пальцев на обеих ногах и три пальца на руке другого человека» говорилось просто: «три пальца другого человека».

Подобного рода сокращения в то же время приводили как бы к выделению единиц из высшего разряда. В самом деле, такие называния, как «рука» - для обозначения пяти, «две руки» - для обозначения десяти, «нога» - для обозначения пятнадцати «человек» - для обозначения двадцати и т.п., служили для обозначения единиц высшего разряда, чем пальца, а пальцы играли роль единиц низшего разряда.

В этом смысле выражение «один на другой руке», означающее «шесть» можно рассматривать как «один из второго пятка» или как «пять и один», т.е. «рука» - единица высшего разряда. Точно также наименование «два на ноге», означающее «двенадцать», указывало на то, что две единицы взяты из второго десятка; это можно было бы передать и такой фразой: «две руки и два пальца», где «две руки» играют роль единицы высшего порядка по отношению к пальцам.

Например, у некоторых племен с островов Торресова пролива существуют только единица - «урапун» и двойка - «оказа». При помощи этоих чисел и происходит счет. На их языке три выражается, как «оказа урапун», четыре - «оказа оказа», пять - «оказа оказа урапун», шесть - «оказа оказа оказа» и т.д. Вот примеры счета некоторых австралийских племен: племя реки Муррей: 1 - «энэа», 2 - «петчевал», 3 - «петчевал энэа», четыре - «петчевал петчевал».

1.3 Появление систем счисления

Переход человека к пальцевому счету привел к созданию нескольких различных систем счисления.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система, как полагают, зародилась и наибольшее распространение получила в Америке. Её создание относится к этой эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. Очевидно, при таком способе счета делался какой-нибудь всякий раз, когда заканчивался отсчет всех пальцев одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система сохранилась еще в чистом виде (например, у жителей Полинезии и Меланезии).

Дальнейшее развитие систем счисления пошло по двум путям. Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее - по пальцам ног. При этом часть племен остановилась на счете пальцев только на руках и этим положило основу для десятичной системы счисления, а другая часть племен, вероятно большая, распространила счет на пальцы ног и тем самым создало предпосылки на основание системы с основанием 20. Такая система получила распространение главным образом среди значительной части индейских племен Северной Америки и Туземных обитателей Центральной и Южной Америки, а так же в северной части Сибири и в Африке.

Десятичная система счисления является преобладающей у народов Европы. Однако это не означает, что в Европе эта система всегда была единственной: некоторые народы перешли к десятичной системе уже в более поздние времена, а ранние пользовались другой системой.

Естественной единицей высшего разряда при возникновении двадцатеричной системы явился «человек» как обладатель 20 пальцев. В этой системе 40 выражается как «два человека», 60 - «три человека» и т.д. Двадцатеричная система имеет большой недостаток: для её словесного выражения надо иметь 20 различных названий для основных чисел. Поэтому, когда у некоторых племен развилась десятичная система счисления, то и многие другие племена, употреблявшие двадцатеричную, постепенно отошли от нее, переняв десятичную. Как полагают, переходу от двадцатеричной системы к десятеричной способствовало и то, что с тех пор, как люди стали употреблять обувь, закрывавшую пальцы ног, возможность непосредственного счета двумя десятками утратилось. Двадцатеричная система в наше время в чистом воде не отмечена ни у одного народа; обычно она соединяется с десятичной или с пятеричной. Однако следы этой системы сохранились в называниях у некоторых, даже достигших высокого культурного развития народов.

Так, например, у французов число 80 выражается словом quatre-vingts (четырежды двадцать), а 90 - словом quatre-vingt-dix (четырежды двадцатьт и десятьт), у грузин числа 40, 60 и 80 называются ормацы, сомацы и отхмацы, т.е. 2х20, 3х20 и 4х20 (где «оцы» означает 20, «ори» - 2, «сами» - 3, а «отхи» - 4). Числа 30, 50, 70 и 90 называются оцдаати, ормоцдаати, цамоцдаати и отхмоцдаати, т.е. 20+10, 2х20+10, 3х20+10 и 4х20+10.

Некоторые племена в качестве счетного аппарата применяли не сами пальцы рук, а их суставы. В этом случае счет иногда развивался тоже достаточно продуктивно и оформлялся в стройные системы. Здесь процесс счета протекал таким образом: большой палец одной руки является счетчиком суставов остальных пальцев этой руки; т.к. на каждом из остальных четырех пальцев этой руки содержится по три сустава, то следующий за суставом выше единицей являлось число 12, что и послужило двенадцатеричной системой счисления. Этот процесс иногда не останавливался на двенадцати, а продолжался далее, причем каждый палец другой руки служил единицей высшего разряда, т.е. представлял собой 12, и после отсчета всех пальцев на второй руке создавалась новая единица высшего разряда 12х5, т.е. 60. Возможно, что такого рода счет способствовал созданию шестидесятеричной системы счисления, имевшей большое распространение в древнем Вавилоне и перешедшей позднее ко многим другим народам.

Следы двенадцатеричной и шестнадцатеричной систем счисления сохранились и до нашего времени. Стоит вспомнить хотя бы счет часов в сутках, измерение углов градусами, минутами и секундами.

Так постепенно, под влиянием потребностей экономического характера, человечество создавало свои методы счета и достигло, наконец, стройного метода, который в дальнейшем сознательного совершенствовался и упрощался, пока не превратился в метод, которым и пользуется современная математика.

1.4 Письменная нумерация у древних народов

Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост экономических потребностей у людей вел их по пути все большего и большего расширения и углубления понятия о числе. Особенно значительные сдвиги в этом смысле произошли, когда возникли государства с более или менее сложным государственным аппаратом, потребовавшим учета имущества и создание налоговой системы, и когда товарообмен перешел в стадию развития торговли с применением денежной системы. С одной стороны, это повлекло за собой зарождение письменной нумерации, а с другой - стали развиваться счетные операции, т.е. появились действия над числами.

Своего рода запись чисел производилась еще в те отдаленные эпохи жизни человечества: все эти узелки, зарубки, нанизанные на шнур раковины, являлись ни чем иным, как зародышем записанного числа. Далее стали обозначать число 1 - одной черточкой, 2 - двумя, 3 - тремя и т.д.

Развитие числовой записи всегда сопутствовало общему подъёму культурного уровня народов, а потому, протекало наиболее интенсивно в тех странах, которые быстро шли по пути развития государственности.

Среди народов земного шара в наиболее благоприятных условиях для развития их экономической и политической жизни были такие, которые обитали на стыке трех материков: Европы, Африки и Азии, а также народы занимавшие территории полуострова Индостан и современного Китая. Природные условия в этих местах были на редкость разнообразны. Это разнообразие и крайняя дифференцированность наблюдались в развитии производительных сил и соответственно общественного быта.

Государства расположенные на этих территориях, явились первыми в истории человечества государствами, где мы находим зародыш современных наук и математики в частности.

Нумерация государств Древнего Востока и Рима.

Древневавилонское государство располагалось в той части Месопотамии где наиболее сближаются русла рек Тигра и Евфрата. Главный город этого государства - Вавилон находился на берегу Евфрата.

Расцвет вавилонского государства относится ко второй половине XVIII в. до н.э. Продукты сельского хозяйства (зерно, фрукты, скот) являлись предметами вывоза в соседние страны. Торговле благоприятствовало центральное положение Вавилона на берегу судоходных рек. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы мер. В Вавилоне была создана система мер аналогичная нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.

Числовая запись у вавилонян возникла в весьма отдаленную эпоху. Предполагают, что вавилоняне заимствовали её у народов, которые жили на территории Вавилонского государства еще до его сформирования. Эта запись, подобно вавилонской письменности, производилась на глиняных табличках путем выдавливания на них треугольных клиньев, причем орудием для записи служил трехгранный брусок. Такого рода клинопись состояла главным образом из трех положений клинка: вертикального острием вниз, горизонтального острием влево и горизонтального острием вправо. При этом знак Ў означал единицу, 3 - десяток. При помощи этих знаков, применяя еще метод сложения, можно было выражать и многозначные числа. Например, знак ЎЎЎ изображал 5, знак 33 ЎЎЎ - число 23 и т.д. ЎЎ

Зарождение египетской культуры относится к периоду времени за 4000 лет до н.э. Предполагают, что в эту эпоху была создана и египетская письменность. Первоначально она носила иероглифический характер, т.е. каждое понятие изображалось в виде отдельного рисунка. Но постепенно иероглифические записи принимали несколько иную форму, именуемую иероглифической записью.

Таким же методом производилась и запись чисел. При иероглифической записи числа выражались уже в десятичной системе, причем существовали особые знаки для разрядных чисел: единиц, десятков, сотен и т.д. Единица изображались знаком |, десяток, сотня, тысяча, десять тысяч, сто тысяч, миллион, десять миллионов. При этом если единица какого-нибудь разряда содержалась в числе несколько раз, то она столько же раз повторялась в записи, т.е. соблюдался закон сложения. Например, число 5 выражалось так: . Число 122 имело вид: .

У египтян употреблялись только единичные дроби, т.е. такие которые выражают только одну долю в нашей записи имеют в числителе единицу (сакие дроби мы называем аликвотными ). Исключение составила дробь 2/3, для которой существовал особый знак: ; Ѕ тоже имела особый знак, а все остальные выражались при помощи символа «ро», который имел вид. Чтобы изобразить какую-нибудь дробь рисовали этот символ и под ним ставили число, представлявшее знаменатель. Например, одна седьмая записывалась так: .

Записи производились преимущественно красками на папирусе. Иногда же материалом для записи служили камень, дерево, кожа, холст. Текст вписывался в строки преимущественно справа налево и столбцами сверху вниз.

Начальные понятия математики, зародившиеся в Древнем Китае, послужили развитию математической культуры соседних народов, которые занимали территорию современной Кореи Индокитая и с особенности Японии.

В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. (рис. в прил.).

Но, помимо этих иероглифических цифр, в Китае имели распространение и более простые цифровые знаки, употреблявшиеся при торговых операциях.

Выглядели они следующим образом: |=1; ||=2; |||=3; ||||=4; |||||=5; | =6; ||=7; |||=8;||||=9; 0=0. Запись чисел производилась столбцами сверху вниз. Большим преимуществом китайской записи чисел было введение в употребление нуля для выражения отсутствующих разрядов. Предполагают, что нуль заимствован из Индии в XII в.

Уже с давних времен в Китае вошел в употребление счетный прибор саун-пан, по конструкции напоминающий современные русские счеты (рис. в прил.). Главное его отличие от русских счетов в том, что наши счеты основаны на десятичной системе счисления, а в саун-пан смешанная пятеричная и двоичная система. В саун-пан каждая проволока делится на две части: в нижней её части нанизано 5 косточек, а в верхней - 2. Когда нижней части проволоки отсчитаны все пять косточек, то они заменяются одной в верхней части; где косточки в верхней части заменяются одной косточкой высшего разряда. счисление нумерация дробный рациональный

На заре человеческой культуры в развитии математики Китай шёл далеко впереди Вавилона и Египта.

Метод записи чисел у римлян, заимствован у древних этрусков - однго из племен Древней Италии. В этой записи сохранились следы пятеричной системы счисления, и числа выражались при помощи букв, а именно числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 обозначались собственно буквами I, V, X, L, C, D и M. Для более крупных чисел (10000, 100000, 1000000) существовали особые знаки. Для обозначения нуля знака не было. В записях они придерживались принципа сложения и вычитания: числа, написанные справа, прибавлялись, а числа написанные слева, вычитались от числа, написанного рядом с ним. Так, IX, XII, XC и CXXX означали соответственно 9, 12, 90 и 130. Римская запись чисел используется в наше время в тех случаях, когда надо записать какое-либо строго зафиксированное число, над которым не придется производить ни каких арифметических операций, например, дата постройки памятника или здания, век, глава в книге и т.п.

Вследствие затруднительности вычислений, римляне прибегали к помощи пальцевого счета или абака. (рис).

Этот абак представляет собой металлическую доску с желобками, вдоль которых могут передаваться жетоны. Продольных желобков девять, причем семь из них дают возможность отсчитывать единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и миллионы. Разряды единиц укрупняются при переходе от правых желобков к левым (как это возможно видеть на рисунке). Два же самых правых желобка дают возможность вести отсчет дробных долей. желобки для целых чисел разделяются на две части: в верхней помещен один жетон, а в нижней - четыре. Верхний жетон заменяет пять нижних. Второй желобок справа тоже разделен на две части и дает возможность отсчитывать двенадцатые доли, причем верхняя его часть содержит один жетон, а нижняя - пять. Самый правый желобок разделен на три части, из которых верхняя даёт отчет 24-х долей, средняя 48-х и нижняя - 72-х. На правом чертеже представлен отчет, равный 84 071+2|12+1|72.

Числа в Индии.

Особенно ценный вклад в арифметику внесен индийцами. В этом отношении математика обязана индийцам упорядочением числовой записи при помощи введения цифр для десятичной системы счисления и установления принципа поместного значения цифр. Кроме того, в Индии получило распространение употребление нуля для указания соответствующих разрядных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании числовых записей и облегчении операций над числами.

Цифровые знаки Индии не совпадают по очертаниям с современными цифрами, но все же имеют с ними в некоторых случаях большое сходство. Так, например, очень походили на современные цифры индийские знаки, изображавшие единицу, семерку и нуль. Остальные знаки в течение многих веков, отделяющих нас от времени их происхождения, сильно видоизменялись.

Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие. Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. В то время как у греков, евреев, сирийцев и т.д. для записи чисел употреблялось до 27 различных цифровых знаков, у индийцев число таких цифровых знаков снизилось до 10, включая и обозначение нуля. Что касается позиционной системы, её зачатки были еще у вавилонян, но там эта система применялась для шестидесятеричного счета, а индийцы ввели её для десятичного. Наконец, применение знака для нуля при позиционной системе дало большое преимущество перед записью чисел у вавилонян. Так, например, у вавилонян значок Ў мог обозначать и единицу и 1/60, и вообще любое число вида 60 n , а в записи у индийцев знак 1 мог обозначать только единицу, так как для обозначения десятка, сотни и так далее после единицы записывалось соответствующее число нулей.

Процесс записи чисел и проведение арифметических операций над ними делались индийцами на белой доске, засыпанной красным песком. Орудием для записи служила палочка. Таким образом, при записи на красной поверхности появлялись белые знаки, прочерченные палочкой.

Числа народов Средней Азии.

Начиная с VII в. в истории народов, входящих в состав государств Средней Азии и Ближнего Востока значительную роль начинает играть арабское государство. Из мелких арабских государств, целиком умещавшихся на Аравийском полуострове в VII-VIII вв., был создан арабский халифат - государство, занимающее огромную территорию. В его состав вошли, кроме основной территории арабов, Палестина, Сирия, Месопотамия, Персия, Закавказье, Средняя Азия, Северная Индия, Египет, Северная Африка и Пиренейский полуостров. Столицей халифата сначала был Дамаск, а затем в VIII в. вблизи бывшего Вавилона был построен новый город - Багдад, куда и была перенесена столица.

Так многие из представителей народов, вошедших в халифат, писали на арабском языке, то буржуазные историки неправильно включают работы ученых этих народов в число работ арабов.

Первым по времени крупным математиком был у народов входивших в состав халифата, мы назовем великого узбекского (хорезмийского) математика и астролога IX в. Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (2-я половина VIII в. - между 830-840).

Сочинение аль-Хорезми по арифметике дошло до нашего времени только в переводе на латинский язык. Оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики, так как именно в нем европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с системой индийских цифр, с употреблением нуля и с помесным значением цифр. Вследствие того, что сведения эти были получены европейцами из книги, автор которой жил в арабском государстве и писал на арабском языке, индийские цифры десятичной системы стали неправильно именоваться «арабскими цифрами».

Нумерация на Руси.

Восточно-славянские племена, древние предки русской, украинской и белоруской народностей начали формироваться около 2-3 т. лет до н.э. В VII и VIII вв. у славян появились первые города. Первыми большими городами Руси были Киев и Новгород.

В X в., в княжение Владимира Святославовича (?-1015), древнерусское государство (Киевская Русь) достигло наибольшего расцвета и могущества. По развитию культуры оно занимало одно из видных мест среди государств Европы. На Руси в эту эпоху параллельно с общим развитием культуры шло сравнительно быстрое распространение сведений из математики.

Правда, до нашего времени не сохранилось никаких памятников математической литературы, которые давали бы нам возможность судить о развитии математики на Руси в IX-X вв., но документы другого характера позволяют делать некоторые выводы в этом отношении. Первым русским памятником математического содержания до настоящего времени считается рукописное сочинение новгородского монаха Кирика, написанное им в 1136 г. и носящее заголовок «Критика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение имже ведати человеку числа всех лет».

В этом сочинении Кирик выявил себя весьма искусным счетчиком и великим числолюбцем. Основные задачи, которые разрешаются Кириком, хронологического порядка: вычисление времени, протекшего между каким-либо событием. При вычислениях Кирик пользовался той системой нумерации, которая называлась малым перечнем и выражалась следующими наименованиями: 10000 - тьма, 100 000 - легион, или неведий, 1 000 000 - леодр.

Кроме малого перечня, в Древней Руси существовал еще больший перечень, который давал возможность оперировать с очень большими числами. В системе перечня основные разрядные единицы имели те же наименования, что и в малом, но соотношения между этими единицами были иные, а именно:

Тысяча тысяч - тьма;

Тьма тем - легион, или певедий;

Легион легионов - леодр;

Леодр леодров - ворон;

10 воронов - колода.

В последнем из этих чисел, т.е. о колоде, говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумевати».

Единицы, десятки и сотни изображались славянскими буквами с поставленным над ними знаком, называемым титло, для отличия цифр от букв. Тысячи изображались теми же буквами, но перед ними ставился знак Так, изображала единицу, - двадцать два, - шесть тысяч и т.д.

Тьма, легион и леодр изображались теми же буквами, но для отличия от единиц, десятков, сотен и тысяч они обводились кружками. Так, изображало три тьмы; - три легиона, а - три леодра.

К XVI в. относится изобретение замечательного счетного прибора, получившего впоследствии название «русские счеты» (рис). Как полагают, идея создания этого прибора принадлежит русским купцам Строгоновым. Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломанными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

- половина, полтина, - треть, - четь, - полтреть, - полчеть, - полполтреть, - полполчеть, - полполполтреть (малая треть), - полполполчеть, - пятина, - седьмина, - десятина.

Славянские нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

2. От натуральных чисел к комплексным

2.1 Натуральные числа

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

Источником возникновения понятия возникновения отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.

У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея - обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков - цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Натуральные числа, кроме основной функции - характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию - характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа - с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг.19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощности , если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется что-то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному из считаемых предметов и предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на эталонную совокупность на ранних ступенях - пальцы рук и зарубки на палочке и т.д. на современном этапе - слова и знаки, обозначающие число. Определение данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественного числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

2.2 Дробные числа

Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь. Объём, время и другие величины. Приходится учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби.

В истории развития дробного числа мы встречаем дроби трёх видов:

1) доли или единичные дроби, у которых числитель единица, знаменателем же может быть любое целое число;

2) дроби систематические, у которых числителями могут быть любые числа, знаменателями же - только числа некоторого частного вида, например степени десяти или шестидесяти;

3) дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми числами.

Изобретение этих трёх различных видов дробей представляло для человечества разные степени трудности, поэтому разные виды дробей появлялись в разные эпохи.

Знакомство человека с дробными числами началось с единичных дробей с малыми знаменателями.

Понятия «половина», «треть», «четверть», «осьмушка» употребляются часто людьми, которые арифметике дробных чисел никогда не обучались. Эти простейшие дроби изобрёл каждый народ самостоятельно в ходе своего развития.

Единичные дроби. Древние египтяне, несмотря на то, что в течение нескольких тысячелетий своей истории развили высокую культуру, оставили после себя прекрасные памятники искусства, владели многими отраслями техники, однако в арифметике дробных чисел не пошли далее изобретения единичных дробей (и дроби). Если задача приводила к ответу, который мы выражаем дробным числом, египтяне его представляли в виде суммы единичных дробей или долей. Если, например, ответ по нашему был, египтяне представляли его в виде суммы ++ и писали без знаков сложения: . Без знака сложения обходились и многие позднейшие народы, понимая писание дробей рядом, как сложение. Этот египетский способ письма частично сохранился и у нас. Мы пишем смешанные числа, ставя рядом, без какого-либо соединяющего знака, число целых единиц и дробей, и понимаем запись, как сумму: пишем вместо.

Может показаться, что египетский способ пользования одними лишь единичными дробями делал решение задач сложным. Не всегда это так. Например, египетский автор решает задачу: нужно разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами. Мы сказали бы, что каждый получает хлеба.

Для египтянина не было числа, но он знал, что от деления 7 на 8 получается ++. Этот факт подсказывает ему, что для делёжа семи хлебов между восемью лицами нужно иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьмушек. Он режет 4 хлеба пополам, 2 хлеба - на четвертинки и 1 хлеб - на осьмушки и распределяет доли между получающими. Для делёжа пришлось сделать всего 4+6+7=17 разрезов.

Кладовщик, работающий в наши дни, которому предстоит такая же задача деления хлебов, сообразив, что каждому получателю надо дать семь восьмушек, быть может, сочтет нужным разрезать все 7 хлебов предварительно на восьмушки, для чего ему требуется сделать 7х7=49 размеров. Как видим, в этой задаче египетский способ решения является более практичным.

Решение задач практической жизни при помощи одних лишь долей (египетский способ) имело место почти у всех европейских народов, начиная с греков.

Систематические дроби. Одновременно с единичными дробями появились и систематические дроби. Самый ранний по времени вид таких дробей есть шестидесятеричные дроби, употреблявшиеся в древнем Вавилоне. В этих дробях знаменателем служат числа 60; 60 2 = 3600, 60 3 = 261 000, 60 4 , 60 5 и т.д., и они сходны с нашими десятеричными дробями.

Шестидесятеричными дробями пользовались все культурные народы до XVII века, особенно в научных работах, поэтому они и назывались физическими или астрономическими дробями, а дроби общего вида, в отличие от них - обыкновенными или народными. Следы пользования этими дробями остались у нас до сих пор: минута есть 1/60, секунда 1/60 2 = 1/3600, терция 1/60 3 = 1/216 000 часть числа.

Десятичные дроби. Десятичные дроби представляют также вид систематических дробей.

К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II в. до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III в н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объёма. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей метрологическую форму.

Вот, например, какие меры массы существовали в Китае в X веке: 1 лан = 10 цянь = 10 2 фэнь = 10 3 ли = 10 4 хао = 10 5 сы = 10 6 хо.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей.

Целую часть от дробной стали отделять особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае, как и в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного ал-Каши в 20-х годах XV в. Независимо от него, в 80-х годах XVI в. десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Симоном Стевином.

В Средней Азии и в Европе ученые пришли к десятичным дробям по аналогии с шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей.

В середине века ученые пользовались десятичной нумерацией для вычислений с целыми числами, а шестидесятеричной - для вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания к другому.

Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще считались самым трудным разделом арифметики. Поныне у немцев осталась поговорка «Попал в дроби», т.е. попал в трудное положение.

Идея шестидесятеричных дробей, идея одинакового систематического подразделения целого на одни и те же доли, с одной стороны, привели к мысли о десятичных дробях.

Среднеазиатский город Самарканд был в XV в. большим культурным центром. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в 20-х годах XV в. крупный ученый того времени - Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях.

В своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г., ал-Каши пишет: «Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются 60 и его последовательные степени… По аналогии мы ввели дроби, в которых последовательными знаменателями являются 10 и его последовательные степени…».

Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами», тысячные - «десятичными терциями» и т.д. Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации. Вводя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и удобную систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби.

Ал-Каши излагает правила и приводит примеры действий с десятичными дробями. Оно вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую Запятая вообще, как знак препинания, была введена на рубеже XV и XVI вв. венецианским типографом Альф Мануцци. Он же стал прилагать к книгам оглавление, а пишет целую часть черными чернилами, дробную же - красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.

Открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI в. заново открыты С. Стевиным До Симона Стевина десятичные дроби употребляли Рудольфом, Ризе и Виет. Виет явно рекомендовал применять десятичные дроби вместо шестидесятеричных. Число 314, 1592636, например, Виет записывал так: 314, 159, 263,6. .

Фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548-1620), около 150 лет после ал-Каши, изложил учение о десятичных дробях в Европе. В 1585 г. он написал небольшую книгу под названием «Десятая».

Эта книга состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию десятичных дробей.

Запись десятинных дробей у Стевина была отличной от нашей. Вот,например, как он записывал число 35,912: 35 0 9 1 1 2 2 3.

Итак, вместо запятой нуль в кружке. В других кружках или над цифрами указывается десятичный разряд: 1 - десятые, 2 - сотые и т.д.

Стевик указывал на большое практическое значение десятичных дробей и настойчиво пропагандировал их. Он был первым ученым, потребовавшим введения десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.

Дробь общего вида. Дроби общего вида, в которых и m, и n могут быть произвольными целыми числами, появляются уже в некоторых сочинениях Архимеда. Простейшие из таких дробей (2/3, 3/4) постепенно входят в употребление в житейской практике. Индусы уже в первые века нашего летосчисления установили современные правила действий над обыкновенными дробями. Эти правила через руководство среднеазиатских математиков - ал-Хорезми и других - вошли в европейские учебники арифметики. Это случилось ранее распространения десятичных дробей.

В «Арифметики» (1703) первого русского педагога-математика Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) обыкновенные дроби излагаются подробно, десятичные же дроби - в специальной главе, как некоторый новый вид счисления, не имевшего при тогдашней системе мер большого практического значения. Только с введением метрической (десятичной) системы мер десятыми дроби заняли подобающее место в нашем обиходе.

2.3 Рациональные числа

Числа целые, дробны (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, к-ое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таком образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел . Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т.н. иррациональных чисел.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.

курсовая работа , добавлен 29.04.2017

Как люди научились считать, возникновение цифр, чисел и систем счисления. Таблица умножения на "пальцах": методика умножения для чисел 9 и 8. Примеры быстрого счета. Способы умножения двузначного числа на 11, 111, 1111 и т.д. и трехзначного числа на 999.

курсовая работа , добавлен 22.10.2011

Исследование истории систем счисления. Описание единичной и двоичной систем счисления, древнегреческой, славянской, римской и вавилонской поместной нумерации. Анализ двоичного кодирования в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

контрольная работа , добавлен 04.11.2013

Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления.

реферат , добавлен 09.07.2009

Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.

курсовая работа , добавлен 07.12.2012

Математика как одна из самых древних и консервативных наук. Понятие числа, построение их множеств, особенности натуральных чисел, представление иррациональных чисел. Смысл категории "пространство", последствия применения некорректных методов познания.

статья , добавлен 28.07.2010

Понятие и математическое содержание систем счисления, их разновидности и сферы применения. Отличительные признаки и особенности позиционных и непозиционных, двоичных и десятичных систем счисления. Порядок перевода чисел из одной системы в другую.

презентация , добавлен 10.11.2010

Ознакомление с записью чисел в алфавитной системе счисления. Особенности установления числовых значений букв у славянских народов. Рассмотрение записи больших чисел в славянской системе счисления. Обозначение "тем", "легионов", "леордов" и "колод".

презентация , добавлен 30.09.2012

Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.

курсовая работа , добавлен 14.09.2015

История возникновения и развития арабских цифр, особенности их написания, удобство по сравнению с другими системами. Знакомство с цифрами разных народов: системой счисления Древнего Рима, китайскими, деванагари и их развитием от древности, до наших дней.

История возникновения
чисел.
«Главное число»
человека.
Исследовательский проект
Проект выполнил:
ученик 6 «Б» класса
Щеглов Даниил
Руководитель проекта:
Щеглова Н.А.

Основополагающий вопрос
"Кто сетку чисел
набросил на мир?"

Аннотация
Меня очень заинтересовала данная тема.
Я хотел узнать много нового о числах. Ведь
мир чисел очень загадочен и интересен.
Эта тема является актуальной, потому что
числа очень важны в нашем мире. Если
бы не было в мире чисел, то мы не знали
бы, сколько нам лет, в каком веке или
году мы живём.
Цель моего исследования - влияние числа
на судьбу человека.
Задачи:
1. Изучить историю возникновения чисел.
2. Выявить магическое значение чисел

История возникновения чисел
У древних людей, кроме каменного
топора и шкуры вместо одежды,
ничего не было, поэтому считать им
было нечего. Постепенно они стали
приручать скот, возделывать поля;
появилась торговля, и тут уж без
счета никак не обойтись.
Сначала считали на пальцах. Когда
пальцы на одной руке кончались,
переходили на другую, а если на двух
руках не хватало, переходили на ноги.

История возникновения чисел
чисел
из двух
Первыми придумали
запись
древние
шумеры. Они пользовались
всего
цифрами.
двумя
Вертикальная
черточка
обозначала одну единицу, а
угол
лежачих
черточек - десять.
Эти черточки у них
получались в виде клиньев,
потому что они писали
острой палочкой на сырых
глиняных дощечках, которые
потом сушили и обжигали.
Вот
эти
дощечки.
так выглядели

История возникновения чисел
Индейцы и народы Древней Азии при счете
завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.
У некоторых богатеев скапливалось по несколько
метров этой веревочной «счетной книги», попробуй,
вспомни через год, что означают четыре узелочка на
красном шнурочке!
Поэтому того, кто завязывал узелки, называли
вспоминателем.

История возникновения чисел
Древний народ майя вместо самих
цифр рисовал страшные головы, как у
пришельцев, и отличить одну голову -
цифру от другой было очень сложно.

История возникновения чисел
Древние египтяне на очень длинных и дорогих
папирусах писали вместо цифр очень сложные,
громоздкие знаки. Вот, например, как выглядело число
5656.

История возникновения чисел
Было очень неудобно хранить глиняные таблички,
веревки с узелками и рулоны папируса.
И это продолжалось до тех пор, пока древние
индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак.
Вот как они выглядели

История возникновения чисел
Арабы были первыми, кто заимствовал цифры у
индийцев, и привез их в Европу. Чуть позже арабы
упростили эти значки, они стали выглядеть вот так.
Они похожи на многие наши цифры. Арабы нуль, или
«пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось
слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются
все десять значков для записи чисел, которыми мы
пользуемся.

История возникновения чисел
8
60
5
Система
счисления
12
2
10
20
От пальцевого счета пошли пятеричная система счисления (одна
рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног).
В древние времена не существовало единой для всех стран системы
счета. Некоторые системы исчисления брали за основу 12, другие - 60,
третьи - 20, 2, 5, 8.

История возникновения чисел
Десятичную
систему
счисления ввели римляне.
Римские цифры до сих пор
используют в часах и для
оглавления книг, но такая
система цифр тоже была
слишком сложной для счета.
Предки русского народа -

Славяне
для обозначения
чисел употребляли буквы.
обозначения
Этот
цифр называется цифирью.
способ

История возникновения чисел
Для обозначения больших
чисел славяне придумали свой
оригинальный способ:
Десять тысяч - тьма,
десять тем - легион,
десять легионов - леодр,
десять леодров - ворон,
десять воронов - колода.
Такой способ обозначения
чисел был очень неудобен.
Поэтому Петр I ввел в
России привычные для нас
десять цифр, которыми мы
пользуемся до сих пор.

«Главное число» человека
Я узнал, что древние ученые считали, что
цифры имеют таинственный, магический
смысл и влияют на человека.
По верованиям древних, у каждого
человека есть некое число, обладающее
мистической силой, влияющее на характер
и привычки.
В нумерологии, науке о числах,
используются первые 9 чисел от 1 до 9.

Значение чисел по Пифагору
Пифагор, его ученики и последователи сократили все
числа до цифр от 1 до 9 включительно, так как они
являются исходными числами, из которых могут быть
получены все другие.
Знаменитый Корнелиус Агриппа в своём труде
"Оккультная философия", вышедшем в 1533 году,
назвал эти числа и их значения.

Значение чисел по Пифагору
в
учебной
у мамы
Узнав
литературе по математике, что
Число 1 - число цели, которое
проявляется в форме агрессивности
и амбиции.
Число 2 - число с крайностями.
равновесие,
Оно
смешивая позитивные и негативные
качества.
Число 3 - означает неустойчивость.
Оно объединяет талант и весёлость
и
символизирует
приспособляемость.
поддерживает

Значение чисел по Пифагору
число означает
Число 4
устойчивость и прочность.
Число 5 символизирует риск.
Это число является и самым
самым
счастливым,
непредсказуемым.
Число 6 - символ надёжности.
Оно находится в гармонии с
природой. Это идеальное число.
и

Значение чисел по Пифагору
Число 7 - число символизирует
тайну, а так же изучение и
знание.
Число 8 - число материального
означает
успеха.
до
надёжность,
совершенства, равновесие.
Число 9 - символ всеобщего
успеха. Оно объединяет черты
целой группы.
доведённую
Оно

Исследование
У каждого человека есть
свое главное число.
Мама предложила провести
исследование в ее классе, где
она работает. Мы решили
сосчитать «главные числа»
для всех учеников класса и
маленькое
провели
исследование.

Наше исследование
2+4+0+1+2+0+0+5=14
Свое «главное число» можно вычислить по
дню, месяцу и году своего рождения.
Например, я родился 24 января 2005 года
(24.01.2005). Складываем между собой все
эти
и
цифры:
получаем 14.
Две эти цифры тоже надо сложить между
собой:
1+4= 5.
«Пять» - это и есть мое главное число.
Так мы сосчитали «главные числа» наших
четвероклассников.

Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним не справишься. Командовал облавой обычно самый старый и опытный охотник. Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, ну вот хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счета никак не обойдешься! И вождь первобытного племени справлялся с этой задачей. Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как “пять” или “семь”, он мог показать числа на пальцах рук.

Кстати сказать, пальцы сыграли немалую роль в истории счета. Особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять, сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня означала 5, две – 10. Когда рук не хватало, в ход шли и ноги. Две руки и одна нога – 15, две руки и две ноги – 20.

Часто говорят: “Знаю, как свои пять пальцев”. Не с этого ли далекого времени пошло это выражение, когда знать, что пальцев пять, значило то же, что уметь считать?

Пальцы были первыми изображениями чисел. Очень сложно было складывать и вычитать. Загибаешь пальцы – складываешь, разгибаешь – вычитаешь. Когда люди еще не знали, что такое цифры, в ход при счете шли и камешки, и палочки. В старину, если крестьянин-бедняк брал в долг у богатого соседа несколько мешков зерна, он выдавал вместо расписки палочку с зарубками – бирку. На палочке делали столько зарубок, сколько было взято мешков. Эту палочку раскалывали: одну половинку должник отдавал богатому соседу, а другую оставлял себе, чтобы тот потом не требовал вместо трех мешков пять. Если давали деньги друг другу в долг, тоже отмечали это на палочке. Словом, в старину бирка служила чем-то вроде записной книжки.

Как люди научились записывать цифры

Проходили многие-многие годы. Менялась жизнь человека. Люди приручили животных, на земле появились первые скотоводы, а затем и земледельцы. Постепенно росли знания людей, и чем дальше, тем больше увеличивалась потребность в умении считать и мерить. Скотоводам приходилось пересчитывать свои стада, а при этом счет мог идти уже сотнями и тысячами. Земледельцу надо было знать, сколько земли засеять, чтобы прокормить себя до следующего урожая. А время посева? Ведь, если посеять не во время, урожая не получишь!

Счет времени по лунным месяцам уже не годился. Нужен был точный календарь. К тому же людям все чаще приходилось сталкиваться с большими числами, запомнить которые трудно или даже невозможно. Нужно было придумать, как их записывать.

В разных странах и в разные времена это делалось по-разному. Очень разные и порою даже забавные эти “цифры” у разных народов. В Древнем Египте числа первого десятка записывали соответствующим количеством палочек. Вместо цифры “3” – три палочки. А вот для десятков уже другой знак – вроде подковы.

У древних греков, например, вместо цифр, были буквы. Буквами обозначались цифры и в древних русских книгах: “А” - это один, “Б” - два, “В” – три и т.д.

У древних римлян были другие цифры. Мы и сейчас пользуемся иногда римскими цифрами. Их можно увидеть и на циферблате часов, и в книге, где обозначается номер главы. Если внимательно рассмотреть, римские цифры похожи на пальцы. Один – это один палец; два – два пальца; пять – это пятерня с отставленным большим пальцем; шесть – это пятерня да еще один палец.

Так выглядели древние китайские цифры.

Индейцы майя ухитрялись писать любое число, используя только точку, линию и кружочек.

Все-таки, откуда же взялись те десять цифр, которыми мы пользуемся сегодня? Наши современные цифры пришли к нам из Индии через арабские страны, поэтому их и называют арабскими. Происхождение каждой из девяти арабских цифр хорошо видно, если их записать в “угловатой” форме.

Эти цифры произошли от счета по пальцам. Цифру “1” писали так же, как и сейчас, палочкой, цифру “2” – двумя палочками, только не стоячими, а лежачими. Когда эти две палочки быстро писали одну под другой, их соединяли косой черточкой, как мы соединяем буквы в слова. Вот и получился значок, напоминающий нашу теперешнюю двойку. Тройка получалась при скорописи из трех палочек, лежащих одна под другой. В пятерке можно узнать кулак с отставленным пальцем, даже само слово “пять” происходит от слова “пясть” – кисть руки.

От арабов к нам пришло и слово “цифра” от слова “сифр”. Цифрами называют все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, …….

Современное слово “нуль” появилось гораздо позже, чем “цифра”. Оно происходит от латинского слово “нулла” – “никакая”. Изобретение нуля считается одним из важнейших математических открытий. При новом способе записи чисел значение каждой написанной цифры стало прямо зависеть от нее.

позиции, места в числе. При помощи десяти цифр можно записать любое, даже самое большое число, и сразу ясно, какая цифра что обозначает.

Магия чисел

Какую цифру вы любите больше всего? Семерку? Пятерку? А может, единицу? Вас удивляет такой вопрос: как можно любить, или не любить какие - то цифры, числа? Однако не все так думают. У некоторых есть числа “плохие” и “хорошие”, например, число 7 – хорошее, а 13 – плохое и т.д. Впервые мистическое отношение к числам возникло несколько тысяч лет назад, а в середине века широко распространилось по всей Европе. Была даже целая наука – нумерология, в которой каждое имя имело свое число, получаемое при переводе букв имени в цифры.

Детей заинтересовало значение числа 7.

Ведь очень многое в жизни связано с этой цифрой. Дети-дошкольники, когда им исполняется 7 лет, идут в школу; 7 цветов радуги; 7 дней в неделе; 7 звезд в созвездии Большой медведицы; 7 нот нотной грамоты.

Цифру 7 всегда связывали с понятием везения (удачи). Иногда эту цифру называют знаком ангела.

Семь считали магическим, священным числом. Это объяснялось еще и тем, что человек воспринимает окружающий мир (свет, запахи, вкус, звуки) через семь “отверстий” в голове (два глаза, два уха, две ноздри, рот).

Нередко, приписывая числу 7 таинственную силу, знахари вручали больному семь разных лекарств, настоянных на семи разных травах, и советовали пить семь дней.

Это волшебное число 7 широко использовалось в сказках “Белоснежка и семь гномов”, “Волк и семеро козлят”, “Цветик-семицветик”; в мифах древнего мира.

Семь раз отмерь, один раз отрежь.

Семеро одного не ждут.

Лук – от семи недуг.

Семь бед – один ответ.

Семь пядей во лбу.

Семь пятниц на неделе.

Много еще можно узнать о значении числа 7, однако каждое число имеет свое магическое значение.

А сколько звезд на небе? Сколько животных в зоопарке? А сколько ходит детей в детский сад? Дети скоро пойдут в школу и научатся считать и записывать большое количество предметов с помощью этих простых, но нужных десяти цифр.